Imagens Vetoriais e Transformações

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Representação

O plano é um espaço bidimensional composto de dois vetores, x e y. Para representar elementos vetoriais no plano, é necessário primeiramente representar cada ponto (x, y) ligados por linhas.

Código em C++

class Point2D {
public:
    float x;
    float y;
};

Código em Python

class Point2D:
    def __init__(self, x: float, y: float):
        self.x: float = x
        self.y: float = y

O espaço tridimensional, por sua vez, é composto por três vetores. Desta forma, para representar os elementos vetoriais neste espaço é necessário acrescentar o eixo z aos já conhecidos x e y. Dessa forma, cada ponto pode ser representado por (x, y, z).

Código em C++

class Ponto3D {
public:
    float x;
    float y;
    float z;
};

Código em Python

class Point3D:
    def __init__(self, x: float, y: float, z: float):
        self.x: float = x
        self.y: float = y
        self.z: float = z

Desenhando um Triângulo em um espaço bidimensional

Código em C++

#include <SFML/Graphics.hpp>
#include <SFML/Audio.hpp>
#include <iostream>

class Ponto
{
public:
    float x;
    float y;
    Ponto (float _x, float _y) : x(_x), y(_y) {}
};

int main()
{
    sf::RenderWindow* app = new sf::RenderWindow(sf::VideoMode(800, 600, 32), "Triangulo 2D");

    Ponto* triangulo[3];
    triangulo[0] = new Ponto(50, 100);
    triangulo[1] = new Ponto(100, 50);
    triangulo[2] = new Ponto(150, 100);

    while (app->IsOpened())
    {
        sf::Event* event = new sf::Event();
        while (app->GetEvent(*event))
        {
            if (event->Type == sf::Event::Closed)
            {
                app->Close();
            }
        }
        if (app->GetInput().IsKeyDown(sf::Key::Escape))
        {
            return EXIT_SUCCESS;
        }

        app->Clear(sf::Color(255, 255, 255));
        for (int i = 0; i < 3; i++)
        {
            int j = i + 1;
            if (j > 2) j = 0;
            sf::Shape line = sf::Shape::Line(triangulo[i]->x, triangulo[i]->y,
                                             triangulo[j]->x, triangulo[j]->y,
                                             1, sf::Color(0, 0, 0));
            app->Draw(line);
        }
        app->Display();
    }
    return EXIT_SUCCESS;
}

Código em Python

import sys
import pygame

WIDTH: int = 800
HEIGHT: int = 600
Color_screen: pygame.Color = (255, 255, 255)
Color_line: pygame.Color = (0, 0, 0)

class Point:
    def __init__(self, x: float, y: float):
        self.x: float = x
        self.y: float = y

def main():
    global CONICAL
    screen = pygame.display.set_mode((WIDTH, HEIGHT))
    triangle : list[Point] = [
            Point(50, 100),
            Point(100, 50),
            Point(150, 100)
        ]
    while True:
        for event in pygame.event.get():
            if event.type == pygame.QUIT:
                sys.exit(0)
            elif event.type == pygame.KEYDOWN:
                if event.key == pygame.K_ESCAPE:
                    sys.exit(0)
        
        screen.fill(Color_screen)
        pygame.draw.line(screen, Color_line, (triangle[0].x, triangle[0].y), (triangle[1].x, triangle[1].y))
        pygame.draw.line(screen, Color_line, (triangle[1].x, triangle[1].y), (triangle[2].x, triangle[2].y))
        pygame.draw.line(screen, Color_line, (triangle[2].x, triangle[2].y), (triangle[0].x, triangle[0].y))
        pygame.display.flip()

if __name__ == "__main__":
    main()

Transformações Vetoriais

Para fazer transformações em elementos vetoriais, na computação gráfica, são utilizadas as operações com matrizes.

Translação

A translação é a operação que move determinado objeto de um local à outro no plano.

A operação da translação ocorre com a soma da matriz de translação com todos os pontos do objeto. A matriz de translação é a seguinte:

${\begin{bmatrix}T_{x}&T_{y}\end{bmatrix}}$
\begin{bmatrix} T_x & T_y \end{bmatrix}

tal que:

x = x + Translação na horizontal T_x

y = y + Translação na vertical T_y

Logo, a fórmula matemática da operação de translação fica da seguinte forma:

${\begin{bmatrix}x&y\end{bmatrix}}+{\begin{bmatrix}T_{x}&T_{y}\end{bmatrix}}$
\begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix} + \begin{bmatrix} T_x & T_y \end{bmatrix}

tal que:

• x = x + T_x
• y = y + T_y

Escala

A escala no plano é a operação que modifica o tamanho de um objeto no plano.

A operação da escala ocorre com a multiplicação da matriz de Escala com todos os pontos do objeto. A matriz de escala é a seguinte:

${\begin{bmatrix}S_{x}&0\\0&S_{y}\end{bmatrix}}$
\begin{bmatrix} S_x & 0 \\ 0 & S_y \end{bmatrix}

tal que:

• S_x é a modificação da escala na horizontal, e
• S_y é a modificação da escala na vertical.

Logo, a fórmula matemática da operação de translação fica da seguinte forma:

${\begin{bmatrix}x&y\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}S_{x}&0\\0&S_{y}\end{bmatrix}}$
\begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} S_x & 0 \\ 0 & S_y \end{bmatrix}

tal que:

${\begin{bmatrix}x&y\end{bmatrix}}\times {\begin{bmatrix}S_{x}&0\\0&S_{y}\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(x\times S_{x})+(y\times 0)&(x\times 0)+(y\times S_{y})\end{bmatrix}}$
\begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix} \times \begin{bmatrix} S_x & 0 \\ 0 & S_y \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (x \times S_x) + (y \times 0) & (x \times 0) + (y \times S_y) \end{bmatrix}

Resumindo:

$x'=(x\times S_{x})+(y\times 0)=x\times S_{x}$
x' = (x \times S_x) + (y \times 0) = x \times S_x

$y'=(x\times 0)+(y\times S_{y})=y\times S_{y}$
y' = (x \times 0) + (y \times S_y) = y \times S_y

O Problema do deslocamento

Porém, temos um problema. Ao aplicar a escala, estamos modificando também a posição do nosso elemento. Para contornar o problema, devemos definir um ponto que é visto como o ponto de origem deste elemento, ou também chamado de Pivô.

Dessa forma, antes de efetuar a operação de escala, devemos mover nossa imagem com o pivô para a origem (0, 0). Para essa mudança, basta escolher um ponto que será o pivô ou criar um ponto apenas para ser o pivô da imagem. Diminuir todos os pontos pelo x do pivô, efetuar a operação e somar novamente pelos pontos do pivô.

Observe o seguinte algoritmo de exemplo:

pivo.x = ponto[0].x
pivo.y = ponto[0].y

translacao(-pivo.x, -pivo.y)
escala(2.0, 2.0)
translacao(pivo.x, pivo.y)

Veja que no exemplo acima utilizamos a operação de translação e de escala já apresentadas.

Rotação

A rotação, no plano, é a operação que rotaciona determinado objeto no plano.

A operação de rotação ocorre com a multiplicação da matriz de Rotação com todos os pontos do objeto. A matriz de rotação é a seguinte:

${\begin{bmatrix}\cos(ang)&\sin(ang)\\-\sin(ang)&\cos(ang)\end{bmatrix}}$
\begin{bmatrix} \cos(\theta) & \sin(\theta) \\ -\sin(\theta) & \cos(\theta) \end{bmatrix}

tal que:

• é o ângulo, em radianos, que se quer rotacionar o objeto,
• sin é a operação do seno sobre o ângulo, e
• cos é a operação do cosseno sobre o ângulo.

Logo, a fórmula matemática da operação de translação se dá pela multiplicação da matriz do ponto pela matriz de rotação:

${\begin{bmatrix}x&y\end{bmatrix}}{\begin{bmatrix}\cos({\text{ang}})&\sin({\text{ang}})\\-\sin({\text{ang}})&\cos({\text{ang}})\end{bmatrix}}={\begin{bmatrix}(x\times \cos({\text{ang}}))+(y\times -\sin({\text{ang}}))&(x\times \sin({\text{ang}}))+(y\times \cos({\text{ang}}))\end{bmatrix}}$
\begin{bmatrix} x & y \end{bmatrix} \begin{bmatrix} \cos(\text{ang}) & \sin(\text{ang}) \\ -\sin(\text{ang}) & \cos(\text{ang}) \end{bmatrix} = \begin{bmatrix} (x \times \cos(\text{ang})) + (y \times -\sin(\text{ang})) & (x \times \sin(\text{ang})) + (y \times \cos(\text{ang})) \end{bmatrix}

tal que:

$x'=(x\times \cos({\text{ang}}))+(y\times -\sin({\text{ang}}))$
x' = (x \times \cos(\text{ang})) + (y \times -\sin(\text{ang}))</math>

$y'=(x\times \sin({\text{ang}}))+(y\times \cos({\text{ang}}))$
y' = (x \times \sin(\text{ang})) + (y \times \cos(\text{ang}))</math>

Observe que agora temos x' e y'. Isso por que em ambas as operações estamos utilizando o x e y originais.

Se modificarmos o x na primeira operação, na segunda ele já vai estar modificado, o que distorce o elemento. A solução é criar variáveis auxiliares para não alterar os valores originais até o término do processo.

Outra coisa importante é que, assim como na escala, devemos transladar nosso objeto para o ponto de origem do espaço, baseando-se em um pivô do elemento.

Distância Euclidiana

A distância Euclidiana é a distância entre dois pontos. No caso do espaço bidimensional (vetores x e y), podemos ter a distância euclidiana como a seguinte fórmula:

${\sqrt {(x_{2}-x_{1})^{2}+(y_{2}-y_{1})^{2}}}$
\sqrt{(x_2 - x_1)^2 + (y_2 - y_1)^2}

Funções Trigonométricas

Triângulo

Considere o Triângulo da figura ao lado. Para o ângulo α, chamamos o lado cujo comprimento é x de lado adjacente, e chamamos o lado cujo comprimento é y de lado oposto. O lado oposto ao ângulo direito, cujo comprimento satisfaz o teorema de pitágoras (h² = x² + y², é chamado de hipotenusa. As seis funções trigonométricas são definidas pelo ângulo como as razões de comprimentos de lado.

Funções Trigonométricas

Nome da Função	Definição
seno	sen α = y / h
cosseno	cos α = x / h
tangente	tg α = y / h = sen α / cos α
cossecante	csc α = h / y = 1 / sen α
secante	sec α = h / x = 1 / cos α
cotangente	cot α = x / y = 1 / tg α

As funções cossecante, secante e cotangente são raramente utilizadas na programação. Dessa forma, vamos estudar mais as funções de seno, cosseno e tangente.

O que torna as funções trigonométricas úteis é que para um dado ângulo α, as razões de comprimento dos lados de um triângulo retângulo contendo o ângulo α são sempre as mesmas. Assim, as funções seno, cosseno e tangente dependem apenas do ângulo α, e não do tamanho real do triângulo.

Em uma circunferência de raio r, um radiano é o ângulo α para o qual o arco circular subtendido por α tem um comprimento igual ao próprio r.

Valores de funções trigonométricas para ângulos comuns

radianos	graus	sen α	cos α	tg α
0	0º	0	1	0
π/6	30º	1/2	raiz(3)/2	raiz(3)/3
π/4	45º	raiz(2)/2	raiz(2)/2	1
π/3	60º	raiz(3)/2	1/2	raiz(3)
π/2	90º	1	0	indefinido

Exercícios

1. Implemente as funções que calculam:

1.a. A distância euclidiana entre dois pontos
1.b. A conversão de graus para radianos

Com base na representação do ponto e no exemplo do triângulo apresentado nessa sessão, faça os seguintes exercícios:

2. Implemente a função de translação. No programa principal, cada vez que pressionar as teclas das setas:

2.a. Cima: translade 10 pixeis para cima
2.b. Baixo: translade 10 pixels para baixo
2.c. Direita: translade 10 pixels para a direita
2.d. Esquerda: translade 10 pixels para a esquerda

3. Implemente a função de escala. No programa principal, efetue as seguintes operações:

3.a. Tecla PgUp: Faça o triângulo aumentar em 10%
3.b. Tecla PgDn: Faça o triângulo diminuir em 10%

observe que há o problema do deslocamento. Evite isso deixando um ponto como pivô.

4. Implemente a função de rotação. No programa principal, efetue as seguintes operações:

4.a. Tecla d: rotacione 15 graus para a direita
4.b. Tecla e: rotacione 15 graus para a esquerda