Geometria

Afluentes: Usabilidade, Desenvolvimento Web, Mobile e Jogos

Introdução

• Geometria é a área da matemática que estuda as propriedades e relações das figuras no espaço.
• Fundamental para a computação gráfica, pois permite representar objetos de maneira estruturada.
• Facilita a manipulação e transformação de elementos gráficos em jogos e simulações.

Na computação gráfica, utilizamos conceitos geométricos para modelar cenários, animar personagens e criar efeitos visuais. As principais ferramentas para isso são as coordenadas cartesianas, transformações geométricas e o uso de matrizes para manipulação de objetos.

• Utilizamos escalares, pontos e vetores para representar quantidades, posições e direções.
• Através da combinação de operações sobre esses elementos podemos representar objetos geométricos e realizar o processamento necessário para a síntese de imagens.

Conceitos Básicos

• A base da geometria computacional são os pontos, linhas e polígonos.
• Pontos: elementos espaciais representados por coordenadas.
• Linhas: conectam dois pontos.
• Polígonos: formados por múltiplos segmentos.

Elementos básicos da geometria representados por um ponto no espaço bidimensional, uma reta e um polígono com 5 lados não isométricos.

Coordenadas Cartesianas

• Um sistema de referência baseado em eixos:
  • X e Y (em 2D) ou
  • X, Y e Z (em 3D)
• Os eixos são usado para posicionar elementos gráficos.

Gráfico bidimensional contendo o eixo x horizontal, o eixo y, vertical, e alguns pontos aleatórios distribuídos pelo gráfico com sua posição (x, y).

A seguir temos um exemplo de programa em python, com o uso da biblioteca pygame, para criar linhas e polígonos. Não estamos desenhando um ponto porque visualmente seria apenas um pixel. Usamos os pontos para criar as linhas e demais elementos.

import pygame

# Estamos usando a biblioteca pygame.
pygame.init()

screen = pygame.display.set_mode((500, 500))
clock = pygame.time.Clock()

running = True
while running:
    for event in pygame.event.get():
        if event.type == pygame.QUIT:
            running = False

    screen.fill((255, 255, 255))
    # Desenhamos uma linha na tela, do ponto (30, 50) ao ponto (180, 200)
    pygame.draw.line(screen, (255, 0, 0), (30, 50), (180, 200))
    # Desenhamos um poligono ocm base no vetor de pontos passado como parâmetro.
    pygame.draw.polygon(screen, (0, 0, 255), [(200, 100), (300, 50), (400, 100), (350, 200), (250, 200)])
    pygame.display.flip()
    clock.tick(60)
pygame.quit()

O código acima gera a representação visual mostrada abaixo.

Imagem resultado da visualização do programa em linguagem de programação python usando biblioteca pygame com uma linha e um polígono de cinco lados.

Espaço Vetorial

Um espaço vetorial contém um conjunto de escalares e um conjunto de vetores. Usaremos letras minúsculas (a,b,…) para denotar escalares, e letras em negrito (u,v,…) para denotar vetores.

• Um escalar é um número real ou complexo que representa uma quantidade ou medida.
• Um vetor é um ente matemático abstrato de um conjunto V fechado para as seguintes operações:

Transformações Geométricas

• As transformações geométricas são as alterações na posição, tamanho e orientação de objetos gráficos. As principais são:
  • Translação: Deslocamento de um objeto sem alterar sua forma.
  • Rotação: Giro de um objeto em torno de um ponto específico.
  • Escala: Aumento ou redução do tamanho de um objeto.

Vamos ver mais sobre transformações geométricas no plano (2D) e no espaço (3D) nas próximas aulas.