Transformações em Imagens Vetoriais no Espaço

Afluentes: Computação Gráfica

Representação

O espaço tridimensional é composto por três vetores. Desta forma, para representar os elementos vetoriais neste espaço é necessário acrescentar o eixo z aos já conhecidos x e y. Dessa forma, cada ponto pode ser representado por (x, y, z).

O seguinte exemplo apresenta um algoritmo para a representação aramada de um cubo.

Ponto {
	Real x
	Real y
	Real z
}

Cubo = Vetor [8] Ponto

Cubo[0].Ponto = ( 5,  5,  5);
Cubo[1].Ponto = (10,  5,  5);
Cubo[2].Ponto = (10, 10,  5);
Cubo[3].Ponto = ( 5, 10,  5);
Cubo[4].Ponto = ( 5,  5, 10);
Cubo[5].Ponto = (10,  5, 10);
Cubo[6].Ponto = (10, 10, 10);
Cubo[7].Ponto = ( 5, 10, 10);

j = 1;
Para i = 0 até 3 Fazer
	j = i + 1;
	Se j == 4
		Então j = 0
	Fim se
	Desenhar_linha(
		Cubo[i].Ponto.x, Cubo[i].Ponto.y,
		Cubo[i+4].Ponto.x, Cubo[i+4].Ponto.y)
	Desenhar_linha(
		Cubo[i].Ponto.x, Cubo[i].Ponto.y,
		Cubo[j].Ponto.x, Cubo[j].Ponto.y)
	Desenhar_linha(
		Cubo[i+4].Ponto.x, Cubo[i+4].Ponto.y,
		Cubo[j+4].Ponto.x, Cubo[j+4].Ponto.y)
Fim para

O algoritmo acima é apresentado em linguagem C no código fonte exemplo cubo.c. Observe que o vetor z dos pontos não estão envolvidos na apresentação da figura na tela do computador. Isso por que a tela não possui profundidade. Temos que apresentar todos os elementos chapados na tela do monitor do computador.

Transformações

As transformações no espaço tridimensional devem ser aplicadas, assim como nas transformações no plano, em todos os pontos do objeto. Aqui são apresentadas as transformações de translação, escala e rotação em x, y e z.

Translação

A operação da translação ocorre com a soma da matriz de translação com todos os pontos do objeto, assim como a translação no espaço. Porém, agora a matriz de translação possui um elemento a mais para tratar do eixo z, o Tz. A matriz de translação no espaço tridimensional é a seguinte:

${\begin{pmatrix}Tx&Ty&Tz\end{pmatrix}}$

tal que:

Tx é a translação na horizontal e
Ty é a translação na vertical e
Tz é a translação em relação à profundidade.

Logo, a fórmula matemática da operação de translação fica da seguinte forma:

${\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}Tx&Ty&Tz\end{pmatrix}}$

tal que:

$x=x+Tx$

$y=y+Ty$

$z=z+Tz$

Algoritmo

Baseado na matriz e na fórmula para a operação de translação no plano, o algoritmo para esta operação fica da seguinte maneira:

Entrada Tx, Ty e Tz

Para i = 0 Até Quantidade_de_pontos Fazer
	Ponto[i].x = Ponto[i].x + Tx
	Ponto[i].y = Ponto[i].y + Ty
	Ponto[i].z = Ponto[i].z + Tz
Fim para

Ou seja, a operação é executada em todos os pontos do elemento.

Escala

A operação da escala ocorre com a multiplicação da matriz de Escala com todos os pontos do objeto, agora com o eixo Z acrescido e o novo elemento Sz (Escala em profundidade). A matriz de escala é a seguinte:

${\begin{pmatrix}Sx&0&0\\0&Sy&0\\0&0&Sz\end{pmatrix}}$

tal que:

Sx : é a modificação da escala na horizontal,
Sy : é a modificação da escala na vertical e
Sz : é a modificação da escala em relação à profundidade.

Logo, a fórmula matemática da operação de translação fica da seguinte forma:

${\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}Sx&0&0\\0&Sy&0\\0&0&Sz\end{pmatrix}}$

tal que:

$x=(x\cdot Sx)+(y\cdot 0)+(z\cdot 0)=x\cdot Sx$

$y=(x\cdot 0)+(y\cdot Sy)+(z\cdot 0)=y\cdot Sy$

$z=(x\cdot 0)+(y\cdot 0)+(z\cdot Sz)=z\cdot Sz$

Algoritmo

Baseado na matriz e na fórmula para a operação de escala no plano, o algoritmo para esta operação fica da seguinte maneira:

Lembre-se que é necessário transladar o objeto para seu ponto de origem, utilizando-se de um pivô para isso, e depois transladar de volta para sua localização no espaço tridimensional. Assim como na operação de Escala no plano.

Entrada Sx, Sy e Sz

Pivo = Ponto[0];

Transladar(-Pivo.x, -Pivo.y, -Pivo.z);

Para i = 0 Até Quantidade_de_pontos Fazer
	Ponto[i].x = Ponto[i].x * Sx
	Ponto[i].y = Ponto[i].y * Sy
	Ponto[i].z = Ponto[i].z * Sz
Fim para

Transladar(Pivo.x, Pivo.y, Pivo.z);

A operação é executada em todos os pontos do elemento, assim como na operação de translação.

Rotação

A operação de rotação ocorre com a multiplicação da matriz de Rotação com todos os pontos do objeto. Porém, é importante observar que a matriz de rotação agora pode ser aplicada nos eixos x, y e z. No plano, a rotação é considerada sobre o eixo z. Dessa forma, as matrizes de rotação são apresentadas a seguir:

Rotação em z

${\begin{pmatrix}\cos(\theta )&\sin(\theta )&0\\-\sin(\theta )&\cos(\theta )&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

tal que:

θ é o ângulo, em radianos, que se quer rotacionar o objeto,
sin é a operação do seno sobre o ângulo e
cos é a operação do cosseno sobre o ângulo.

Logo, a fórmula matemática da operação de translação fica da seguinte forma:

${\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\cos(\theta )&\sin(\theta )&0\\-\sin(\theta )&\cos(\theta )&0\\0&0&1\end{pmatrix}}$

tal que:

$x'=(x\cdot \cos(\theta ))+(y\cdot -\sin(\theta ))+(z\cdot 0)$

$y'=(x\cdot \sin(\theta ))+(y\cdot \cos(\theta ))+(z\cdot 0)$

$z'=(x\cdot 0)+(y\cdot 0)+(z\cdot 1)=z$

Aqui temos x', y' e z', assim como na rotação no plano. Porém, z não se modifica, se mantêm. Isso é devido à operação de rotação ser sobre o eixo z. Ainda aqui, assim como na escala, devemos transladar nosso objeto para o ponto de origem do espaço, baseando-se em um pivo do elemento.

Algoritmo

Baseado na matriz de rotação em z, o algoritmo para esta operação fica da seguinte maneira:

Entrada ang

Pivo = Ponto[0];

Transladar (-Pivo.x, -Pivo.y, -Pivo.z)

Para i = 0 Até Quantidade_de_pontos Fazer
	xAux = (Ponto[i].x * cos(ang)) + (Ponto[i].y * -sen(ang))
	yAux = (Ponto[i].x * sen(ang)) + (Ponto[i].y *  cos(ang))
	Ponto[i].x = xAux
	Ponto[i].y = yAux
Fim para

Transladar (Pivo.x, Pivo.y, Pivo.z)

Como nesta operação (rotação em z) o z do ponto não se modifica, então não é necessário executar qualquer operação sobre z.

Aqui, também, operação é executada em todos os pontos do elemento, assim como na operação de translação e na escala.

Rotação em x

Seguindo o esquema da rotação em z, a rotação em x também possui sua matriz de rotação.

${\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos(\theta )&\sin(\theta )\\0&-\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{pmatrix}}$

Logo, a fórmula matemática da operação de translação em x fica da seguinte forma:

${\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}1&0&0\\0&\cos(\theta )&\sin(\theta )\\0&-\sin(\theta )&\cos(\theta )\end{pmatrix}}$

tal que:

$x'=(x\cdot 1)+(y\cdot 0)+(z\cdot 0)=x$

$y'=(x\cdot 0)+(y\cdot \cos(\theta ))+(z\cdot -\sin(\theta ))$

$z'=(x\cdot 0)+(y\cdot \sin(\theta ))+(z\cdot \cos(\theta ))$

Na rotação em x, apenas o x não se modifica.

Algoritmo

Entrada ang

Pivo = Ponto[0];

Transladar (-Pivo.x, -Pivo.y, -Pivo.z)

Para i = 0 Até Quantidade_de_pontos Fazer
	yAux = (Ponto[i].y * cos(ang)) + (Ponto[i].z * -sen(ang))
	zAux = (Ponto[i].y * sen(ang)) + (Ponto[i].z *  cos(ang))
	Ponto[i].y = yAux
	Ponto[i].z = zAux
Fim para

Transladar (Pivo.x, Pivo.y, Pivo.z)

Rotação em y

Por fim, segue a matriz de rotação em y.

${\begin{pmatrix}\cos(\theta )&0&\sin(\theta )\\0&1&0\\-\sin(\theta )&0&\cos(\theta )\end{pmatrix}}$

Aplicando a multimplicação de matrizes:

${\begin{pmatrix}x&y&z\end{pmatrix}}\cdot {\begin{pmatrix}\cos(\theta )&0&\sin(\theta )\\0&1&0\\-\sin(\theta )&0&\cos(\theta )\end{pmatrix}}$

tem-se:

$x'=(x\cdot \cos(\theta ))+(y\cdot 0)+(z\cdot -\sin(\theta ))$

$y'=(x\cdot 0)+(y\cdot 1)+(z\cdot 0)=y$

$z'=(x\cdot \sin(\theta ))+(y\cdot 0)+(z\cdot \cos(\theta ))$

Algoritmo

Entrada ang

Pivo = Ponto[0];

Transladar (-Pivo.x, -Pivo.y, -Pivo.z)

Para i = 0 Até Quantidade_de_pontos Fazer
	xAux = (Ponto[i].x * cos(ang)) + (Ponto[i].z * -sen(ang))
	zAux = (Ponto[i].x * sen(ang)) + (Ponto[i].z *  cos(ang))
	Ponto[i].x = xAux
	Ponto[i].z = zAux
Fim para

Transladar (Pivo.x, Pivo.y, Pivo.z)